TL;DR
- 平常時の相関 0.3 で計算した分散効果は、crash 時に 0.9 に跳ねて消失する (Longin & Solnik 2001)
- 「分散効くのは平常時だけ」という構造的問題
- Copula モデルで tail dependency を表現、DCC-GARCH で時変相関を扱う
- Risk parity は volatility-weighted で「全 leg を等しく重く」する設計
Hook
「分散効くのは平常時だけ。本当に必要な時に相関は 1 に収束する」
retail が portfolio を組む時、「相関 0.3 の 4 戦略を組み合わせれば、variance が大きく減るはず」と期待する。Markowitz の数学はそう言う。だが現実は、本当に hedge が必要な crash 中に、相関が 1 に近づき分散効果が消える。
Background
Markowitz (1952) の portfolio theory は、相関を constant として扱う static framework。実際の市場では相関は時変であり、特に extreme event で構造が変わる。
Longin & Solnik (2001) “Extreme Correlation of International Equity Markets” が代表研究。複数の equity market 間の相関を「通常分布の時」と「extreme tail (lower 5%)」で計測すると、後者で相関が systematic に高くなる。
これを tail correlation または asymmetric correlation と呼ぶ。
Theory — 相関の時変性
Markowitz の variance reduction
2 資産で相関 ρ、各 std σ₁, σ₂、配分 w₁, w₂:
σ_p² = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂·ρ·σ₁·σ₂ρ が小さいほど σ_p は小さい。これが「分散効果」の数学。
Tail Correlation の実証
Longin & Solnik 1996-2000 のデータで: – 平常時 (中央 90%) の相関: ~0.3-0.4 – Lower tail (下位 5%) の相関: ~0.6-0.9
つまり「みんなが下げる時にしか相関が高くない」。Hedge として欲しい時に hedge にならない。
Gaussian Copula の限界
リスク管理で Gaussian Copula が伝統的に使われたが、これは tail dependency を表現できない。Copula 理論では: – Gaussian Copula: tail dependency = 0 – t Copula: tail dependency 正、対称 – Clayton Copula: lower tail dependency 正、上方は 0 (= crash 時相関高)
retail backtest で Gaussian 仮定を使うと crash の相関ジャンプを過小評価する。
DCC-GARCH の時変相関
Engle (2002) の Dynamic Conditional Correlation GARCH は時変相関を modeling する手法。retail には実装ハードル高いが、概念だけ知っておく価値がある: 「相関は constant ではなく、過去の動きから推定される時変パラメータ」。
Risk Parity vs Equal Weight
Markowitz 同様、risk parity は variance allocation を均等化する。「相関 fixed」の前提で動く設計。crash で相関が変わると risk parity も同様に脆弱。
Concrete example
教科書的な数値。4 戦略 portfolio、平常時相関 0.3、各 std 10%、equal weight:
平常時:
σ_p² = 4 × (0.25)² × (0.10)² + 6 × 2 × (0.25)² × 0.3 × (0.10)²→ σ_p ≈ 6.6%
分散効果: 単独 std 10% → portfolio std 6.6%、約 33% 削減。
Crash 時 (相関 0.9): → σ_p ≈ 9.6%
分散効果ほぼ消失。「4 戦略持ったから守られる」幻想が裏切られる。
Limitation / Counter-argument
1. 完全に独立な戦略は存在しない
equity・債券・通貨・コモディティを混ぜても、global liquidity event では全資産が下げる (例: 2008、2020-03)。「真の独立性」を retail で実現するのは構造的に困難。
2. 例外的な戦略: trend-following と long volatility
CTA (TSMOM) と long volatility (VIX 系) は equity crash 時に positive return を出すことが歴史的に知られる (crisis alpha)。これらは相関構造が他と違う。ただし平常時に carry を払う drag を受容する必要。
3. 時間軸の長さ
短期 crash で相関が跳ねても、月次・四半期 frame では相関が落ち着く可能性。time horizon を意識した相関分析が要る。
4. retail で DCC-GARCH 実装は重い
時変相関を真面目に扱うには量計算量が必要。retail は「平常時相関で楽観評価せず、crash 時相関で保守評価する」程度の規律で十分。
5. 相関ベースの分散と factor 分散の差
Markowitz の相関分散は asset-level、factor 分散 (equity factor, value factor, momentum factor) は別レベル。AQR の “Risk Parity”、Bridgewater “All Weather” は factor 分散寄り。相関分散と factor 分散を区別する。
Practical takeaway
retail で portfolio 分散を考える指針:
- 平常時相関を信じすぎない: crash 時を想定して相関 0.7-0.9 で portfolio variance を再計算
- 真の uncorrelated 候補を探す: TSMOM、long volatility、cash 系。ただし carry drag を受容
- 2-3 leg で十分: 4 leg 以上は marginal な variance reduction、複雑性が増す
- rebalancing 頻度の trade-off: 高頻度で相関 update に追従するとコスト増、低頻度で追従が遅れる
- Crash scenario を意識的に simulate: 相関 0.9 想定で portfolio drawdown を Monte Carlo
ただしこれらはすべて historical 相関分析であり、未来の crash で構造が変わる可能性を排除しない。OOS が future performance を保証しない。
まとめ
「分散効くのは平常時だけ」という現実を直視するのが retail portfolio 設計の出発点。Markowitz 数学の単純な variance reduction は、tail で破綻する。
真に uncorrelated な戦略 (CTA、long volatility) を一部組み込み、crash 時相関 0.9 で再評価する規律を持つ。「相関 0.3 で 4 leg 持っている」と安心するのは Gaussian Copula 信仰の罠。
参考文献
- Longin, F., Solnik, B. (2001). Extreme Correlation of International Equity Markets. Journal of Finance, 56(2), 649-676.
- Markowitz, H. (1952). Portfolio Selection. Journal of Finance, 7(1), 77-91.
- Engle, R.F. (2002). Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GARCH Models. Journal of Business and Economic Statistics, 20(3), 339-350.
- Asness, C., Frazzini, A., Pedersen, L.H. (2012). Leverage Aversion and Risk Parity. Financial Analysts Journal, 68(1), 47-59.
- Embrechts, P., McNeil, A., Straumann, D. (2002). Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls. In Risk Management: Value at Risk and Beyond.