Sharpe Ratio の年率化バグ — sqrt(252) の罠

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TL;DR

  • Sharpe 5+ という backtest 結果のほとんどは年率化バグ
  • sqrt(252) で年率化が正しいのは「毎日 trade している」時のみ
  • 月 5 回しか trade しない戦略を sqrt(252) で年率化すると Sharpe が大幅 inflated
  • 正解: sqrt(trades_per_year) (取引頻度ベース) または年次リターン分散から直接計算

Hook

「Sharpe 5 を見たら、まず year-frequency 換算を疑え」

retail backtest プラットフォームが「Sharpe 5.7」と表示する。市場プロでもまず到達しない数字。煽るには十分。だがその数字の半分以上は、年率化の数学が間違っている だけだ。

Background

Sharpe Ratio は Sharpe (1966、1994 改訂) で提案された、リスク調整後リターンの尺度。

Sharpe = (E[R] - Rf) / σ[R]

期待超過リターンを標準偏差で割る。シンプル、強力、業界標準。

年率化の必要性

日次リターンの Sharpe を年率化したい時、統計的には:

Sharpe_annual = Sharpe_daily × √T

T は 1 年あたりの観測単位数。日次なら T = 252 (営業日)、週次なら T = 52、月次なら T = 12。これが iid 正規分布を仮定したときの理論変換。

ここで暗黙の仮定が入る: 全 T 観測点で「リターンが発生している」。これが retail backtest で破綻する。

Theory — なぜ間違うか

毎日 trade なら正しい

戦略が毎日 entry/exit を繰り返している (例: daily mean reversion) なら、252 日すべてで日次 P&L が記録される。Sharpe を √252 倍するのは正しい。

月 5 回 trade だと間違う

戦略が月平均 5 回しか entry しない (= 年 60 回程度)。残りの日は「ポジションなし」で日次 P&L = 0。これを「毎日 0 円のリターンが発生」と扱って √252 倍すると、実際の volatility より小さい standard deviation で割ることになる (ゼロ日が分散を希薄化する)。

結果: Sharpe が systematically inflated。実態の 2-3 倍に見える。

数学的に正しい年率化

trade ベースで Sharpe を計算するなら:

Sharpe_annual = (E[R_trade] / σ[R_trade]) × √(N_trades/year)

trade あたりの mean / std を取り、年間 trade 数の平方根で年率化する。これなら 0 日の希薄化が起きない。

もしくは年次リターンから直接

backtest 期間が複数年あるなら、各年の total return / std を直接取って Sharpe 計算するのが最もクリーン。ただし N が小さくなる (10 年で N=10) 問題が出る。

Concrete example

教科書的な数値。月 5 回 (年 60 回) trade、各 trade で平均リターン 0.5%、std 1.0%。

計算法 Sharpe
日次データ + sqrt(252) 倍 (誤) ~5 程度
trade ベース + sqrt(60) 倍 (正) ~3.9
年次リターン直接 (10 年データから) ~2.5 (variance 推定の誤差含む)

3 つの数字に 2 倍の差 がある。retail プラットフォームの多くは日次 + sqrt(252) を default にするので、低頻度戦略で過大表示されやすい。

Limitation / Counter-argument

1. Sortino は downside-only 偏差

Sharpe の代替として Sortino (Sortino & Price 1994) は分母にダウンサイド偏差のみ使う。upside volatility をペナルティ視しない。年率化の問題は同様だが、ダウンサイドのみ抽出するので「ゼロ日問題」が緩和される側面もある。

2. Calmar は MaxDD を分母

Calmar Ratio は分母に MaxDD を使う。年率化のバグはないが、MaxDD は単発実現値で再現性がない (記事 9 で扱う)。Sharpe と組み合わせて使う。

3. Skew / Kurtosis を無視している

Sharpe は分布の正規性を暗黙仮定する。fat-tail / skewed return では misleading になりうる。Lo (2002) “The Statistics of Sharpe Ratios” がこれを詳細に論じる。

4. 連続的にポジションを持つ場合の中間

「ある signal が立つと数日 hold」のような中頻度戦略では、計算法の選択がさらに難しい。trade-based か exposure-based かで異なる Sharpe が出る。

Practical takeaway

retail で Sharpe を計算する時の規律:

  1. 年率化の前に「実際に trade した日」をカウントする: 252 日すべてに 0 リターンを padding しない
  2. sqrt(trades_per_year) で年率化: trade ベースの mean / std から年率に変換
  3. 複数年データなら年次リターンの分散も見る: 二者を比較して乖離が大きければ計算法を疑う
  4. Sharpe 5+ は警告フラグ: 統計的にほぼあり得ない数字。年率化バグか、サンプル数不足の偶然
  5. 公開ファンドの Sharpe を benchmark: SPY 0.6-0.9、AQR Long-Short 0.5-1.5、retail で 2 越えるならまず疑う

ただし正しい年率化で出た Sharpe も、限定期間の OOS 検証である以上、future performance を保証しない。

まとめ

retail backtest の Sharpe inflation は、ほぼ全てが「年率化の数学を当然と思った」結果。sqrt(252) は毎日 trade 前提でしか正しくない。低頻度戦略で機械的に適用すると、見せかけの Sharpe が膨らむ。

「Sharpe 5 を見たら年率化を疑え」「Sharpe 2 を超えたら計算法をチェック」という規律を持てば、retail の自家製 backtest はかなり健全化する。

参考文献

  • Sharpe, W.F. (1994). The Sharpe Ratio. Journal of Portfolio Management, 21(1), 49-58.
  • Lo, A.W. (2002). The Statistics of Sharpe Ratios. Financial Analysts Journal, 58(4), 36-52.
  • Sortino, F.A., Price, L.N. (1994). Performance Measurement in a Downside Risk Framework. Journal of Investing, 3(3), 59-64.
  • Bailey, D.H., Lopez de Prado, M. (2014). The Deflated Sharpe Ratio. Journal of Portfolio Management, 40(5), 94-107.
  • Magdon-Ismail, M., Atiya, A. (2004). Maximum Drawdown. Risk Magazine, October 2004.

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